Numa fila de banco há 300 pessoas. O guarda autoriza que entrem no
banco, durante 10 s, 30 pessoas. Para nova autorização, há uma espera de 20 min. Considerando sempre constantes os intervalos
mencionados, as 300 pessoas da fila serão atendidas em aproximadamente ...
| Solução: Para cada autorização entram 30 pessoas durante 10 segundos,
então, precisaremos de 10 autorizações para a entrada das 300 pessoas durante 100 segundos. Logo teremos 9 intervalos. Como
cada intervalo tem 20 minutos = 20 × 60 segundos = 1200 segundos, segue que, teremos 9 × 1200 = 10.800 segundos
de intervalo. Assim, as 300 pessoas serão atendidas em 10.800 + 100 = 10.900 segundos = (10.900/60) minutos = 181, 666...
minutos = 181 minutos + 2/3 minutos = 181 minutos + 40 segundos = 181 minutos e 40 segundos. |
| |
pessoas |
autorização |
segundos |
| |
30 |
1 |
10 |
| |
300 |
10 |
100 |
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A base de um rectângulo de 100 cm² de área é aumentada de
20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo rectângulo formado é ...
Solução: Aumentar de 20% é o mesmo que multiplica por 1,2. Diminuir
de 20% é o mesmo que multiplicar por (1 - 0,2) = 0,8. A área de um rectângulo é igual ao produto da base b pela altura
h. Então: b × h = 100. Logo, a área do novo rectângulo formado será 1,2×b × 0,8×h
= 0,96×b × h = 0,96 × 100 = 96 cm²
Um cubo de 1 m de aresta está cheio de água. Coloca-se dentro
dele um bloco de concreto em forma de paralelepípedo cujas arestas medem a = 30 cm, b = 30 cm e c = 40 cm. O volume de água
que transbordará é . . .
Solução: A quantidade de água que transbordará é igual ao volume
do bloco de concreto: área da base × altura.
V = a × b × c ; V = 30 × 30 × 40 = 36.000 cm³ . Temos
que: 1m³ = 1000 litros ; 1dm³ = 1 litro ; 1 cm³ = 1 mililitro.
Então o volume V = 36.000 cm³ = 36.000 mililitros = 36 litros. Assim,
transbordarão 36 litros de água.
Um poste de 6 m projecta uma sombra de 4 m. A altura de
um prédio que, no mesmo instante, projecta uma sombra de 124 m é . . .
Solução: A sombra é directamente proporcional a altura, ou
, seja 6/4 = x/124
Então , 4x = 6 × 124. Daí vem , 4x = 744. Logo: x
= 186 m
Um reservatório tem 5/6 de sua capacidade cheios de água.
Se suas dimensões são a = 1 m, b = 0,60 m e c = 0,40 m, o volume contido no reservatório, em litros, é . . .
Solução: : V = a × b × c = 1 × 0,60 × 0,40 = 0,24 m³ .
temos que 1m³ = 1000 litros. Então, o reservatório pode comportar
240 litros:
0,24 × 1.000 = 240 litros; 6/6 da capacidade = 240 litros; 5/6 da
capacidade = 200 litros
O reservatório contém 200 litros de água.
Em um determinado país, o proprietário de um restaurante
comprou 100 animais por 100,00 a saber: bois a 11,00 cada um; cabras 3,00 cada uma e galinhas a 0,50 cada
uma. Quantos animais comprou de cada espécie?
Solução: Seja B o número de bois, C o número de cabras e G
o número de galinhas. Temos o sistema:
B + C + G = 100 e 11B + 3C + 0,5G = 100 . Segue que ,
-B - C - G = -100 e 22B + 6C + G = 200 .
Assim: 21B + 5C = 100. Isolando C teremos: 5C = 100 - 21B. Logo:
C = 20 - ( 21 / 5 )B. Como B, C e G são números naturais, segue que B é um multiplo de 5 e B < 5. Logo B = 0 , o
que implica em C = 20 . Assim, G = 100 - ( 0 + 20 ) = 80. Concluindo: O proprietário comprou zero bois , 20 cabras e
80 galinhas.
Deseja-se construir um rectângulo de semiperímetro p de
modo que o maior valor possível para a área seja 36. Qual o valor de p ?
Solução: Seja x a base e y a
altura do rectângulo. Então, a área
A = xy e o perímetro 2p = 2x + 2y.
Assim o semiperímetro é p = x + y .
Então, y = -x + p.
Logo, A = x( -x + p ) = x² + px.
Sabendo-se que numa função f(x) = ax² + bx + c , o
valor de x que torna f(x) máximo é -b / 2a , (a não nulo)
temos:
x = ( -p / -2 ) = p / 2. Logo,
A = - ( p / 2 )² + p( p / 2) =
36.
Daí, vem que -p² + 2p² = 144 e
p² = 144.
Logo, p = 12.
Em uma cesta de frutas, há 3 vezes mais peras do que laranjas.
Eu e meus amigos vamos dividir as frutas. Se cada um de nós receber 5 laranjas e 8 pêras , restarão 21 pêras, e as laranjas
serão todas distribuídas. Quantas laranjas há na cesta? Quantas pessoas somos?
Solução:
Seja P o número de pêras, L o número de laranjas e
x o número de pessoas.
P = 3L , P = 8x + 21 e L = 5x
.
Então: 3(5x) = 8x + 21.
Daí vem que : 7x = 21.
Logo: x = 3 pessoas, L = 15 laranjas e P = 45 peras.
Um número de 2 algarismos excede em uma unidade o sêxtuplo
da soma de seus algarismos desse número. Se a ordem dos algarismos desse número for invertida, o novo número terá 9 unidades
a menos do que o número original. Encontre o número original .
Solução: Seja x o algarismo da dezena e y o algarismo
da unidade do número original.
Temos o sistema:
10x + y = 6(x + y) e 10y + x = 10x
+ y - 9
Simplificando o sistema:
4x - 5y = 0 e 9y - 9x +
9 = 0.
Da primeira equação vem que x = 5y / 4. substituindo
na segunda , temos:
36y - 45y + 36 = 0, daí vem que y = 4 e x
= 5.
Logo o número original é o 10x + y = 50 + 4 = 54.
Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: "Para compras
entre 100 e 600 Euros compre (x+100) Euros e ganhe (x/10)% de desconto na sua compra". Qual a maior quantia que se pagaria
à mercearia nesta promoção ?
Solução: A quantia é Q(x) = (x + 100) - (x+100)(x/10)(1/100)
= x + 100 - (x²/1000) - (x/10)
Q(x) = (-x² /1000) + (9/10)x +
100
Sabendo-se que numa função f(x) = ax² + bx + c , o
valor de x que torna f(x) máximo é -b / 2a , (a não nulo). temos que:
Q(x) é máximo quando x = -(9/10) / 2(-1/1000) = (9/10)(1000/2) =
(900/2) = 450. Assim, a maior quantia é:
Q(450) = (450 + 100) - (450 + 100)(450/10)(1/100) = 550 -247,50 =
302,50
O valor atual. racional de um título é igual a 1/2
de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado 5 meses.
Solução: No Desconto Racional Simples (desconto por dentro),
o valor atual. (Var) corresponde a um capital aplicado a juros simples, pelo prazo de antecipação (n), e o valor
nominal do título (N) corresponde ao montante produzido por essa aplicação.
Assim, N = Var (1 + in) , onde i é a
taxa percentual de desconto. Temos que Vars = (1/2) N e n = 5 . logo:
N = (1/2)N (1 + 5i). Segue que: 1 = (1/2)(1
+ 5i). O que implica em : 2 = 1 + 5i . Então, 2 - 1 = 5i,
Assim, 1 = 5i . Logo i = 1/5 = 0,20 = 20/100
= 20% .
Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro
a 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro, a 20% a.a., durante 2 anos e 4 meses.
Juntos renderam juro de 27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do
segundo, o valor do terceiro é de?
Solução: Temos que:
J1 + J2 + J3 = 27591,80; 3
anos e 6 meses = 3,5 anos ; 2 anos e 4 meses = (2 + 1/3) anos = 7/3 anos.
J1 = C1(0,25)(4) = C1 ;
J2 = C2(0,24)(3,5) = (21/25)C2 ; J3 = C3(0,2)(7/3) = (7/15)C3.
Temos também:
C2 = 2C1 ; C3 = 3C2
; C3 = 6C1 , então: C1 = (1/6)C3 e C2 = (1/3)C3
Assim, temos: C1 + (21/25)C2 + (7/15)C3
= (1/6)C3 + (21/25)(1/3) C3 + (7/15)C3 = 27591,80 .
(1/6)C3 + (7/25)C3 + (7/15)C3 =
27591,80 .
Calculando o valor de C3 na equação acima teremos:
MMC(6, 25, 15) = 150
(25 + 42 + 70)(1/150)C3 = 27591,80. Segue que: (137/150)C3
= 27591,80
137C3 = 4138770. Logo: C3 = 30210 ; C2
= 10070 ; C1 = 5035.
O terceiro capital é $30.210,00
Se 300cm³ de uma substância têm massa de 500g, quanto custarão
75 dl (decilitro) dessa substância, quando é vendido a 25,50 o quilograma?
Solução: Sabendo-se que: 1000 litros = 1m³ ; 1 litro
= 1dm³ ; 1 mililitros = 1cm³ ; 75 decilitro = 750 centilitro = 7500 mililitros = 7500 cm³ .
| volume |
massa |
|
|
|
|
volume |
massa |
| 300 cm³ |
500g |
|
|
|
|
300cm³ |
500g |
| 75 decilitro |
x |
|
|
|
|
7500 cm³ |
x |
Quando a massa dessa substância aumenta o volume aumenta. Assim,
o volume e a massa são grandezas directamente proporcionais.
Logo: (300/7500) = (500/x) . então: (1/25) = (500/x).
Assim, x = (500)(25) = 12500g = 12,5kg.
Como 1kg custa R$25,50, então 12,5kg custará (12,5)(25,50) = R$318,75.
Prove que, se o quadrado de um número natural n é
par, então o próprio número n tem que ser , obrigatoriamente, par.
Solução: Vamos usar o fato lógico de P implicar em Q
ser equivalente a NÃO Q implicar em NÃO P. (demonstração por absurdo). Provar que "n² par =>
n par" é equivalente a provar que "n impar => n² ímpar".
Seja n um número ímpar, ou seja, n = 2k + 1,
para todo k natural.
Então, n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1
= 2(2k² + 2k) + 1, que é um número natural ímpar para todo k natural. Provamos, portanto, que, se n
é impar, então n² é ímpar. Pela equivalência concluímos que, se n² for par, então n é par. C.Q.D.
